4.3.2 Expansión por cofactores. |
| El objetivo general de esta materia Matemáticas II es brindarnos nuevos conocimientos de nuevos temas aplicados en ella, como: Expansión por cofactores. |
En esta sección se calcularán determinantes haciendo uso de
dos conceptos, el de menor de un determinante y el de cofactor de un elemento.
Se llama menor del elemento aik
de un determinante D de
 al determinante Mik de orden  que se obtiene al
eliminar el renglón i y la columna k de D. |
Ejemplo 1.
Obtener los menores M13 y M21 del determinante D de 
.
.
Para M13 eliminamos el renglón 1 y
la columna 3 para obtener
De la misma forma, se elimina el renglón 2 y
la columna 1 para tener
Se llama cofactor
del elemento aik del determinante D, al
menor Mik con el
signo (-1)i+k y se denota Aik, esto es
 (1) |
Ejemplo 2.
Obtenga los cofactores
A13 y A21 del determinante D dado:
De acuerdo con la fórmula
(1) el cofactor A13
está dado por
Y de la misma forma
Expansión por
cofactores de un determinante.
Se puede probar el siguiente
Teorema
Todo determinante es igual a la suma de los productos de
los elementos de un renglón (o columna) cualquiera por sus cofactores
correspondientes.
Esto es
 (2)
es el desarrollo del determinante D
por el renglón i, y similarmente
 (3)
es el desarrollo del determinante D
por la columna k.
|
Las expresiones
(2) y (3) son fórmulas
completamente generales, cualquier determinante de cualquier dimensión se puede
evaluar usando estas fórmulas.
Ejemplo 3.
Desarrollar por cofactores del segundo renglón y calcular el
valor del determinante D.
Para expandir D, por cofactores del segundo renglón, calculamos primero los cofactores A21, A22
y A23 de los elementos del segundo renglón.
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Entonces
Ejemplo 4.
Desarrollar por cofactores de la primera columna y calcular
el valor del determinante D del
ejemplo 3 para verificar que obtenemos el mismo valor.
Para expandir por cofactores de la primera columna, primero
evaluamos los cofactores A11,
A21, A31 de los elementos de la primera
columna:
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Entonces
Ejemplo 5.
Considere la matriz A y calcule su determinante det A
Para evaluar el determinante de A usamos la
fórmula (2) que permite desarrollar un determinante por cofactores de una
columna. Observe que la primera columna
de A consta de tres ceros y un 2.
Desarrollando por la columna (1)
se tiene
Aún falta evaluar el determinante de 3x3, que desarrollamos por cofactores de la
columna 3 porque dos de sus elementos son ceros, entonces
Ejemplo 6.
El determinante de
una matriz triangular.
Considere la matriz
B triangular,
calcule det B
Entonces, desarrollando por cofactores de la primera
columna, y desarrollando los menores correspondientes de la misma forma, se
tiene
Así que, el determinante de una matriz triangular es el
producto de sus elementos en la diagonal principal.
| (2015). Expansión por cofactores.En: ens.uab… Buscado elMartes, 10 de noviembre de 2015 Disponible en: http://fcm.ens.uabc.mx/~matematicas/algebralineal/III%20Dets/menores%20y%20cofactores.htm |
| ARYA, J. C. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración. México: Pearson Educacíon. |
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