2.3.6 Integral de una suma (diferencia) de funciones.

2.3.6 Integral de una suma (diferencia) de funciones.

El objetivo general de esta materia Matemáticas II es brindarnos nuevos conocimientos de nuevos temas aplicados en ella, como: Integral de una suma (diferencia) de funciones.

9. 1  Definición de integral definida de una función

  Sea f(x) una función definida en un intervalo I=[a, b], supongamos que esta función sea contínua en todo el intervalo I, entonces....

  Se llama integral definida (en sentido de Riemann) de f(x) entre a y b:

 * Propiedades inmediatas:

  Sin más que considerar el significado geométrico de la integral como suma de áreas infinitesimales, las siguuientes propiedades son todas ellas obvias:

1)  Para un intervalo de un solo punto [a, a]:

2)  Para un intervalo [a, b]:

3) Si tenemos una constante, k , multuplicando a f(x), ésta puede ser extraída del símbolo integral:

4) Para dos funciones f(x) y g(x) definidas en el mismo intervalo [a, b]:

 Lo cual suele exponerse diciendo: "la integral de una suma de funciones es la suma de las integrales de las funciones". Y si consideramos además la propiedad (3) con k=-1, podemos añadir: "la integral de una resta de funciones es la resta de las integrales de las funciones".

5) Si el punto c es un punto intermedio del intervalo [a, b] , es decir, a<c<b, entonces:

  Visitad la página Construction of the Riemann Integral para una mejor explicación del sentido geométrico de la integral.

  9. 2  Regla de Barrow para integrales definidas

  Sea f(x) una función continua e integrable en [a, b] , tal que exista una función g(x) con la propiedad: 

                                g’(x) = f(x)

  Entonces, la regla de Barrow indica que:

resultado que abreviadamente suele expresarse:

 

y a la función g(x) se la llama función primitiva de f(x).  

  Ejemplo 1: Hallar por la regla de Barrow la integral definida:

  Solución:  Se trata de hallar una función primitiva de x², para ello nos vale x³/3, puesto que:

entonces se tiene:

  9. 3  Integral indefinida

  Sea una función integrable en cierto dominio I, se llama integral indefinida de f(x) , , al conjunto de todas las primitivas de f(x):

  Una vez hallada una primitiva de f(x), tal como g(x), la integral indefinida es g(x) + C, representando por C cualquier constante numérica.

  9. 4  Propiedades.

 

  4)  Sea f(x) una función integrable, si expresamos la variable x como función de otra variable t, es decir,  x=g(t). Y puesto que dx = g’(t) dt, tenemos:  

que es la base para el método de integración de cambio de variable.

  9. 5  Tabla de integrales inmediatas.

  Conocienda la tabla de derivadas de funciones, la tabla de integrales es complementaria a ella. Nosotros la vamos a presentar aquí en dos versiones.

   *  Tabla de Integrales inmediatas (versión reducida)

   *  Tabla de Integrales inmediatas (versión amplia)

 El alumno debería memorizar al menos la primera tabla.

  9. 6  Métodos de integración.

  El alumno deberá profundizar cada una de estas secciones, haciendo los ejercicios que al final de ellas se proponen.

   I)    Integrales inmediatas y descomposición.
   II)   Integración por sustitución.
   III)  Integración por partes.
   IV)  Integrales racionales.
               a) Método general.
               b) Método de Hermite
    V)  Integración de radicales
    VI) Integrales binómicas
   VII) Integración de f. trigonométricas

    Continuación: Integrales Múltiples (Integrales Dobles y Triples)

  * Ejercicios de integración para el alumno.

 
  

(2015). Integral de una suma (diferencia) de funciones.En: ehu.eus… Buscado elMartes, 10 de noviembre de 2015 Disponible en: http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/integrales.htm

ARYA, J. C. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración. México: Pearson Educacíon.